Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe mindestens eine Person infiziert ist?

In dieser wahrscheinlichkeitstheoretischen Betrachtung geht es um die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass in einer (zufälligen) Ansammlung von Menschen mindestens eine Person eine bestimmte Infektion hat.

Ein Beispiel:

Die Prävalenz einer Infektion sei 0,002, also jede 500. Person der Grundgesamtheit, aus der die Personen stammen, ist infiziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (WK), dass mindestens eine Person bei einem Treffen von 500 Personen infiziert ist?

Die intuitive Herangehensweise ist hier, wie so oft in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, falsch. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für das Vorliegen einer Infektion dürfen nicht einfach addiert werden. Das würde ja bedeuten, dass die WK, dass eine Person infiziert ist, 1 (also 100%) beträgt (500 multipliziert mit 0,002), und mit jeder weiteren Person sogar über 1 ansteigen würde, was offensichtlich falsch ist (Die WK bei 6 Würfen mit einem Würfel eine 6 zu erzielen, ist ja auch nicht 1). Der korrekte Wert für die WK, dass genau eine Person infiziert ist, beträgt in diesem Fall ca. 0,368 (36,8%). Die WK dafür, dass mindestens eine Person erkrankt ist, beträgt ca. 0,632.

In diesem Beispiel reicht elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, um dies zu berechnen. Die WK, dass mindestens eine Person infiziert ist, kann man am einfachsten mit der Wahrscheinlichkeit des sogenannten Gegenereignisses berechnen. Das Gegenereignis zu "Mindestens eine Person infiziert" ist das Ereignis "Keine Person infiziert". Diese beiden Ereignisse besitzen zusammen offensichtlich die WK 1, denn eins der beiden Ereignisse tritt immer ein. Also gilt: WK("mindestens eine Person infiziert") = 1-WK("keine Person infiziert").

Die WK, dass keine Person infiziert ist, berechnet sich einfach durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten dafür, dass eine Person nicht infiziert ist, also 0,998^500.

Insgesamt ergibt sich:

WK("Mindestens eine Person infiziert") = 1-WK("Keine Person infiziert")=1-0,998^500 = 0,632.

Für andere Gruppenstärken oder Prävalenzen ersetzt man in der Rechnung einfach die entsprechenden Werte.

Möchte man berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass in der Personenansammlung 2, 3 oder 4 Menschen infiziert sind, wird es komplizierter und man muss schwerere Geschütze auffahren. In den genannten Fällen zieht man zur Berechnung die Binomialverteilung heran. Dazu ein anders mal mehr.